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1차원 파동방정식.

1차원, 즉 , 기하학적으로 1차원만 고려하는 것, x방향에 대해서만 고려하는 파동 방정식이다.

그림과 같은 원통형 내부에서 작용하는 파동을 생각해보자.

왼쪽의 스피커에서 파동을 발생시킨다면, 위치에 따른 압력이 달라질 것이고 이 압력의 변화가 어떤 모습을 나타내는지 알아내야 한다. 이 파동방정식을 세우기 위해서 몇가지 변수들의 관계식들을 정리하여야 한다.

Euler's equation

x 에서의 압력을 p(x) 라 하고, 입자속도를 v(x)라고 하면 , 뉴턴의 제 2 운동법칙에 의해 위치 x 에서는 다음과 같은 식이 성립한다.

x와 (x+dx) 사이의 압력차이와 단면적 A의 곱은 곧 그 면적에 작용하는 힘을 나타내고, 우변의 A와 dx의 곱은 부피, 그리고 는 밀도이므로 그 곱은 질량이다. ( 질량 = 부피x밀도 ) 그리고 속도v를 미분한 것은 가속도이므로 , 위 식은 곧 뉴턴의 제2 운동법칙 F=ma 를 의미한다. (는 total밀도이고 정밀도 (소리가 없을때 밀도)와 변하는 밀도 의 합이다. 즉, 쉽게말해, 는 밀도의 DC성분이고, 는 밀도의 AC성분이라고 보면 된다.)

양변을 dx로 나눠주면 좌변은 p의 x에대한 편미분이 되고, 정리해주면 위와 같은 식이 나온다. 우변은 v에 대한 전미분을 한 것이다. 입자속도 v를 t에 대해 미분해주고, 위치 x에 대해서도 변화량이 미미하지만 존재한다 생각하고 x에 대한 변화량까지 포함해준 것이다. 이것이 Euler's equation이다. ( 수식쓰기가 귀찮아서 중간중간에 손으로 쓴것들이 좀있음...;;)

여기서 밀도 를 로 근사화하고( 성분은 아주 작게 변화하는 값이므로), v의 x에 대한 편미분 항을 무시한 것(거리x에 의한 입자속도 변화량은 시간 t에의한 변화량에 비하면 아주 미미한 정도이므로 )을 linear Euler's equation 이라고 한다.

연속의 정리

연속의 정리란 들어온 질량만큼 밀도가 증가한다는 것이다.

들어온 질량 = 밀도의 변화 라고 생각하여 아래와 같은 식이 성립된다.

좌변의 밀도 x 속도 x A 는 곧 A를 통해서 순간 들어오는 질량, 즉 질량의 변화를 의미한다. ( 질량 = 밀도 x 부피 = 밀도 x (dx) x A 이고, dx의 변화가 곧 입자속도 v 가 되므로 밀도x v x A는 곧 들어온 질량을 의미) 우변의 dxA는 부피가 되고, 밀도의 변화량과 곱하였으므로 이것 또한 결국에는 질량이 얼마나 증가하였는가를 의미한다.

이 또한 양변을 dx로 나누어 주면 의 x에 대한 편미분이 되고, 편미분을 한 뒤 양변의 A를 정리해주면 위와 같은 식이 되고, 이를 equation of continuity 라 한다.

압력과 밀도의 관계

압력과 밀도의 관계는 adiabatic exponent, 단열지수에 의해 결정되는데, 이 단열지수는 이전부터 물리학자들이 밝혀낸 값들이 있으니 이것을 이용하여 관계식을 구성할 수 있다.( 솔직히 어떻게 이렇게 관계식이 나오는지는 잘 모르겠다...)

단열지수는 단원자분자, 이원자분자 등등 여러 조건에 따라 달라지는데, 공기는 이원자 분자이고 이때 단열지수 는 1.402이다.

밀도와 압력의 그래프에서 기울기는 곧 그 매질에서의 파동의 속도 c의 제곱이된다.

여기서 기울를 구하기 위해 압력 를 테일러 전개를 하면

위와 같은 꼴로 나타낼 수 있고, 선형 음향학에서는 한 점에서 가 미세하게 변화하는 꼴이므로 이를 선형 꼴로 근사화 하여 2번째 항 이외를 무시한다면,

위와 같이 변형된다. 그렇게 되면 그래프의 기울기는 위의 두번째 항의 계수가 되며, 다음과 같이 파동의 속도와의 식을 세울 수 있다.

앞의 연속의 정리로 다시 돌아가서

선형 음향학에서 위의 는 로 근사화 하고(가보다 훨씬 크므로 를 그냥 로 근사화함) , 두번째 항인 밀도를 x로 편미분 한 항을 제거하여 근사화 할 수 있다. (앞에서 연속의정리를 유도하는 과정을 보면, 밀도x속도 를 dx로 나누게 되어 좌변과 같은 꼴이나오게 되는데, 밀도는 정밀도 를 중심으로 미세하게 변화하므로 두번째 항을 제거한 것이 아닐까 생각한다.)