Z transform은 수열에 대해서 개발된 형태이다. Discrete signal에 사용한다.

Continuous system에서 라플라스 변환이 있다면, 이와 비슷한 역할을 해주는 것이 바로 Z transform이다.

라플라스 변환과 같이, 미분방정식을 풀때 유용하게 쓸수가 있다.

One-Sided Z-Transform

One side , 즉 +영역만을 사용하는 변환이다.

공식을 보면 0부터 무한대까지의 영역만을 더해주는 것을 볼 수 있다.

Two-Sided Z-Transform

말 그대로 두 영역, +와 - 영역을 모두 변환하는 것이다.

디지털 신호처리에서는 주로 One side 가 아닌 Two side 트랜스폼을 사용하므로 Two side에 대해서 중점적으로 다루도록 하겠다.

z 변환에서 z의 물리적 의미는  푸리에 변환의 의미로 해석해봤을때와 같은 의미라고 볼 수 있다. 오메가(w)는 2*pi*f 이므로 즉 2파이 간격으로 값을 갖게되는 변환이다. 하지만 여기서 z를  로 그냥  대체해서 쓸수는 없다. z 트랜스폼은 푸리에 변환과는 다른 변환이다. 오히려 z 트랜스폼이 더 넓은 의미의 변환이고, z 트랜스폼을 통해 푸리에 변환을 구할 수는 있지만 푸리에 변환으로 z 트랜스폼을 알 수는 없다고 한다. ( 이것에 대한 자세한 내용은 더 공부해봐야 알 것 같다.) 

ROC (Region Of Convergence)

ROC는 X(z)가 어느 범위에서 정의되는지 알 수 있게 해준다. 말 그대로 수렴 영역으로서, z 변환값을 수렴하게 하는 z의 범위를 말한다.

앞서서 말했듯 z 변환은 수열의 계산이 발전된 것이라고 보면 되는데,

z 변환의 식은 -무한대부터 +무한대까지의 수열을 더한 값이며, 고등학교때 배운 등비수열의 합(무한급수) 공식으로 정리 할 수있다.

위의 식에서 n의 범위에 따라서 z트랜스폼은 하나는 공비가 z/b 이고 다른하나는 공비가 a/z 인 수열들의 합으로 정리된다. 그리고 무한급수가 수렴하기위한 조건은,   공비 <1   , 이므로 z 변환의 수렴조건은 다음과 같고, 이것을 ROC (Region Of Convergence) 라고 한다.

z 변환에서 roc는 아주 중요하다. z 변환식이 같다고 하더라도 roc 가 다르면 실제 그 식들은 서로 다른 것이다. 따라서 roc가 없다면 X(z) 식을 역변환을 할 수가 없다.

Stability

어떤 선형 시스템의 임펄스 응답 h(n)의 z변환을  Transfer function(전달함수)이라고 한다. 전달함수는 어떤 입력을 넣었을때 어떤 출력이 나오게 하는지를 알려주는 입출력 관계식이고, (입력과 시스템을 z 영역에서 곱해주면 출력이 나온다.) 이때 이 전달함수를 B(z)/A(z) 꼴로 표현할 수 있는데 이 전달함수의 pole 에 따라서 시스템의 stability 가 결정된다.

pole이란 B(z)/A(z) 꼴의 전달함수를 무한대로 가도록 하는 z 값이며 극이라고도 한다. 전달함수를 무한대로 가도록 하는 값이므로 분모 A(z)를 0이 되게 하는 값이 pole이 된다.

여기서 전달함수의 pole 이 단위원(unit circle) 안에 존재하여야  Stable 한 시스템이 된다. 단위원은 반지름이 1인 원을 의미 하므로, 쉽게말해 pole이 1보다 작아야 stable 하다는 뜻이다.

조심해야 할 점은 위에서 본 ROC와 구분해야 한다는 점이다.  Stability란 말 그대로 시스템이 시간이 무한대로 흘렀을 때 발산하는지 수렴하는지 여부이다. 위에서 말한 ROC는 H(z)가 존재하는지, 즉,  수렴하는지 여부를 알게 하는 범위인 것이지만, h(n)이 수렴할지는 모르는 것이다. 즉,  H(z)가 수렴한다해도 꼭 Stable 한 시스템인 것은 아니다. 

위의 식을 보면 H(z)는 공비가 pk/z 인 급수들의 합으로 표현될 수 있다. 여기서 z가 pk가 될 경우 H(z)는 무한대가 되므로 이 시스템의 pole은 pk 이다. (K개의 폴이 존재하는 것이다.) 

아까 ROC를 설명하며 보았듯이 공비인 pk/z가 1보다 작다면 , H(z)는 수렴하게 된다. 즉, H(z)가 수렴하기 위한 범위는 이다.

하지만, H(z)를 역변환 한 h(n)을 보자, H(z)를 역변환한 h(n)은 다음과 같다.

H(z)가 수렴하더라도 (pk/z가 1보다 작더라도) 만약, pole인 pk 가 1보다 크다면, h(n)은 n이 무한대로 갈수록 발산하게 된다(공비가 1보다 크므로). 즉 Stable 하지 않은 시스템인 것이다.

따라서 어떤 시스템이 Stable 하기위해서는 전달함수의 모든 pole이 unit circle 안에 존재해야 한다는 조건을 만족하여야 한다.